董功杭
发布于 2024-05-08 / 69 阅读
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线性代数

1.矩阵

1.1基本概念

m行n列矩阵

\boldsymbol{A}_{m\times n}=\left[ \begin{array}{l} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn}\\ \end{array} \right] =\left[ a_{ij} \right]

n阶方阵

\boldsymbol{A}_{n\times n}=\left[ \begin{array}{l} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{array} \right]

梯形阵

\text{若一个矩阵全零行之下无非零行,如} : \\ \boldsymbol{A}=\left[ \begin{array}{l} 0& 3& 0& 7& 1\\ 0& 0& 8& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0& 5\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ \end{array} \right]

上三角矩

\text{若}n\text{阶矩阵的非零元素仅出现在对角线及其右上方}

下三角阵

\text{若}n\text{阶矩阵的非零元素仅出现在对角线及其左下方}

对角阵

\text{若}n\text{阶矩阵的非零元素仅出现在对角线上} \\ \boldsymbol{D}\xlongequal{\mathrm{def}}\mathrm{diag}\left( a_1,a_2,\cdots ,a_n \right) =\left[ \begin{array}{l} a_1& & & \\ & a_2& & \\ & & \ddots& \\ & & & a_n\\ \end{array} \right]

单位阵

\text{若}n\text{阶对角阵对角线上的元素都等于} 1 \\ \boldsymbol{I}_3=\left[ \begin{array}{l} 1& & \\ & 1& \\ & & 1\\ \end{array} \right]

零阵

\text{矩阵的所有元素都为} 0 \\ \boldsymbol{O}=\left[ \begin{matrix} 0& 0& \cdots& 0\\ 0& 0& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ 0& 0& \cdots& 0\\ \end{matrix} \right]

1.2基本运算

符号对照表

\begin{aligned} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}&\phantom{=}\text{矩阵}\\ \alpha &\phantom{=}\text{常数}\\ a_{ij}&\phantom{=}\text{矩阵}\boldsymbol{A}\text{中第}i\text{行第}j\text{列位置上的元素}\\ b_{ij}&\phantom{=}\text{矩阵}\boldsymbol{B}\text{中第}i\text{行第}j\text{列位置上的元素}\\ \end{aligned}

相等

\text{行列数相同且所有元素都相等} \\ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}

数乘

\boldsymbol{A}=\left[ \begin{array}{l} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{array} \right] \\ \alpha \boldsymbol{A}=\left[ \begin{array}{l} \alpha a_{11}& \alpha a_{12}& \cdots& \alpha a_{1n}\\ \alpha a_{21}& \alpha a_{22}& \cdots& \alpha a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \alpha a_{n1}& \alpha a_{n2}& \cdots& \alpha a_{nn}\\ \end{array} \right]

加法

\boldsymbol{A}_{m\times n}+\boldsymbol{B}_{m\times n}=\left[ a_{ij} \right] _{m\times n}+\left[ b_{ij} \right] _{m\times n}=\left[ a_{ij}+b_{ij} \right] _{m\times n}

转置

\boldsymbol{A}=\left[ \begin{array}{l} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn}\\ \end{array} \right] _{m\times n} \\ \boldsymbol{A}\prime=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left[ \begin{array}{l} a_{11}& a_{21}& \cdots& a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots& a_{m2}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{10}& a_{2n}& \cdots& a_{mn}\\ \end{array} \right] _{n\times m}

对称矩阵

\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}

反对称矩阵

\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}

乘法

\boldsymbol{A}=\left[ a_{ij} \right] _{m\times n},\boldsymbol{B}=\left[ b_{ij} \right] _{n\times s} \\ c_{ij}=\sum_{k=1}^n{a_{ik}b_{kj}} \\ \boldsymbol{C}\xlongequal{\mathrm{def}}\boldsymbol{AB}=\left[ c_{ij} \right] _{m\times s}=\left[ \sum_{k=1}^n{a_{ik}b_{kj}} \right] _{m\times s}

1.3运算法则

符号对照表

\begin{aligned} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}&\phantom{=}\text{矩阵}\\ \alpha , \beta &\phantom{=}\text{常数}\\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}&\phantom{=}\text{矩阵}\boldsymbol{A}\text{的转置矩阵}\\ k,l&\phantom{=}\text{正整数}\\ \boldsymbol{I}_m,\boldsymbol{I}_n&\phantom{=}\text{单位阵}\\ \boldsymbol{O}&\phantom{=}\text{零阵}\\ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}&\phantom{=}\text{列向量}\\ \mathbb{R} ^n&\phantom{=}n\text{维向量空间,所有}n\text{维向量的集合}\\ \end{aligned}

加法的交换律

\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}

加法结合律

\left( \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \right) +\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\left( \boldsymbol{B}+\boldsymbol{C} \right)

数乘结合律

\left( \alpha \beta \right) \boldsymbol{A}=\alpha \left( \beta \boldsymbol{A} \right) =\beta \left( \alpha \boldsymbol{A} \right) \\ \alpha \left( \boldsymbol{AB} \right) =\left( \alpha \boldsymbol{A} \right) \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\left( \alpha \boldsymbol{B} \right)

乘法结合律

\left( \boldsymbol{AB} \right) \boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\left( \boldsymbol{BC} \right) =\boldsymbol{ABC}

转置运算的去括号法则

\left( \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \right) ^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A} \\ \left( \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \right) ^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \\ \left( \alpha \boldsymbol{A} \right) ^{\mathrm{T}}=\alpha \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \left( \boldsymbol{AB} \right) ^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \left( \boldsymbol{ABC} \right) ^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}

分配律

\left( \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \right) \boldsymbol{C}=\boldsymbol{AC}+\boldsymbol{BC} \\ \boldsymbol{A}\left( \boldsymbol{B}+\boldsymbol{C} \right) =\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{AC} \\ \left( \alpha +\beta \right) \boldsymbol{A}=\alpha \boldsymbol{A}+\beta \boldsymbol{A} \\ \alpha \left( \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \right) =\alpha \boldsymbol{A}+\alpha \boldsymbol{B}

指数运算及指数律

\boldsymbol{A}^k=\underset{k\text{个}}{\underbrace{\boldsymbol{AA}\cdots \boldsymbol{A}}} \\ \boldsymbol{A}^k\boldsymbol{A}^l=\boldsymbol{A}^{k+l}

定理 1

\boldsymbol{I}_m\boldsymbol{A}=\boldsymbol{AI}_n=\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{OA}=\boldsymbol{AO}=\boldsymbol{O}

定理 2

\text{两个}n\text{阶上三角阵之积仍为}n\text{阶上三角阵} \\ \text{两个}n\text{阶下三角阵之积仍为}n\text{阶下三角阵}

定理 3

\text{两个}n\text{阶对角阵之积仍为}n\text{阶对角阵} \\ \left[ \begin{matrix} a_1& & & \\ & a_2& & \\ & & \ddots& \\ & & & a_n\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} b_1& & & \\ & b_2& & \\ & & \ddots& \\ & & & b_n\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} a_1b_1& & & \\ & a_2b_2& & \\ & & \ddots& \\ & & & a_nb_n\\ \end{matrix} \right] \\ \text{特别的} \\ \left[ \mathrm{diag}\left( \delta _1,\delta _2,\cdots ,\delta _n \right) \right] ^k=\mathrm{diag}\left( {\delta _1}^k,{\delta _2}^k,\cdots ,{\delta _n}^k \right)

线性变换

\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^n \\ \boldsymbol{Ax}=\left[ \begin{array}{l} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn}\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots +a_{mn}x_n\\ \end{array} \right] \in \mathbb{R} ^m

线性变换 2

\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^n \\ \boldsymbol{A}\left( \alpha \boldsymbol{x}+\beta \boldsymbol{y} \right) =\alpha \boldsymbol{Ax}+\beta \boldsymbol{Ay}

线性变换 3 线性代数方程组

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots \,\,\cdots \,\,\cdots \,\,\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots +a_{mn}x_n=b_n\\ \end{cases} \\ \text{可写作如下线性变换的形式} \\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^n \\ \boldsymbol{Ax}=\left[ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots +a_{mn}x_n\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{l} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn}\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{array} \right] \\ \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}

1.4逆矩阵

符号对照表

\begin{aligned} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}&\phantom{=}\text{矩阵}\\ k&\phantom{=}\text{任意常数}\\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}&\phantom{=}\text{矩阵}\boldsymbol{A}\text{的转置矩阵}\\ \boldsymbol{I}&\phantom{=}\text{单位矩阵}\\ \end{aligned}

可逆矩阵

\text{给定矩阵}\boldsymbol{A}\text{,若存在矩阵}\boldsymbol{B}\text{,使} \\ \boldsymbol{AB}=\boldsymbol{I} \\ \text{称}\boldsymbol{A}\text{为可逆矩阵,矩阵}\boldsymbol{B}\text{为}\boldsymbol{A}\text{的逆矩阵} \\ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1} \\ \boldsymbol{AA}^{-1}=\boldsymbol{I}

定理 1 逆矩阵的唯一性

\text{若矩阵}\boldsymbol{A}\text{为可逆阵,则其逆矩阵是唯一的}

定理 2

\text{若}\boldsymbol{A}\text{为可逆矩阵,则}\boldsymbol{A}^{-1}, k\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\text{皆为可逆矩阵,且有} \\ \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right) ^{-1}=\boldsymbol{A} \\ \left( k\boldsymbol{A} \right) ^{-1}=\frac{1}{k}\boldsymbol{A}^{-1}, k\ne 0 \\ \left( \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \right) ^{-1}=\left( \boldsymbol{A}^{-1} \right) ^{\mathrm{T}}

定理 3 矩阵乘积的逆矩阵

\text{若}\boldsymbol{A}\text{、}\boldsymbol{B}\text{为同阶可逆矩阵,则}\boldsymbol{AB}\text{也是可逆矩阵,且有} \\ \left( \boldsymbol{AB} \right) ^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1} \\ \text{特别的,若}\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,\cdots \boldsymbol{A}_n\text{为同阶可逆矩阵,则}\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{A}_2\cdots \boldsymbol{A}_n\text{也是可逆矩阵,且有} \\ \left( \boldsymbol{A}_1\boldsymbol{A}_2\cdots \boldsymbol{A}_n \right) ^{-1}=\boldsymbol{A}_{n}^{-1}\boldsymbol{A}_{n-1}^{-1}\cdots \boldsymbol{A}_{1}^{-1}

1.5分块子矩阵

矩阵的分块

\boldsymbol{A}=\left[ \begin{array}{ccc:cc} a_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}\\ \hdashline a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{A}_{11}& \boldsymbol{A}_{12}\\ \boldsymbol{A}_{21}& \boldsymbol{A}_{22}\\ \end{matrix} \right]

矩阵的按列分块

\boldsymbol{A}=\left[ \begin{array}{c:c:c:c} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{a}_1& \boldsymbol{a}_2& \cdots& \boldsymbol{a}_n\\ \end{matrix} \right]

矩阵的按行分块

子矩阵

\text{对}\boldsymbol{A}_{m\times n}\text{,取其}r\text{行}s\text{列,位于交叉位置的}rs\text{个元,按原来相对位置所组成的矩阵}

主子矩阵

\text{在方阵}\boldsymbol{A}\text{中取出的子矩阵,若子矩阵对角线上的元素均为}\boldsymbol{A}\text{对角线上的元素}

k 阶前主子矩阵

\text{从方阵}\boldsymbol{A}\text{左上角开始直至自身连续取的子矩阵} \\ \boldsymbol{A}^{\left[ k \right]} \\ \text{例如} \\ \boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix} 1& 3& 7\\ 3& 4& 2\\ 7& 2& 0\\ \end{matrix} \right] \\ \text{的所有}3\text{个前主子矩阵为} \\ \boldsymbol{A}^{\left[ 1 \right]}=\left[ 1 \right] , \boldsymbol{A}^{\left[ 2 \right]}=\left[ \begin{matrix} 1& 3\\ 3& 4\\ \end{matrix} \right] ,\boldsymbol{A}^{\left[ 3 \right]}=\boldsymbol{A}


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